Биолог-селекционер, сподвижник и продолжатель дела И. В. Мичурина И. С. Горшков родился 7 сентября 1896 года в с. Жерновном Елецкого уезда Орловской губернии (ныне Долгоруковского района Липецкой области) в крестьянской семье.
Окончил начальное училище (1910), Пензенскую школу садоводства, Тимирязевскую сельскохозяйственную академию. Участник Первой мировой войны; в 1916 году за антивоенную агитацию попал в Бендерскую тюрьму, потом в штрафной батальон.
После демобилизации И. С. Горшков работал садовником в Ельце, с 1919 года – уездным инструктором по садоводству в Козлове. Там же он познакомился с И. В. Мичуриным и стал ближайшим его помощником.
В 1921 году И. С. Горшков возглавил работу по организации Троицкого отделения питомника (располагалось на землях бывшего Троицкого мужского монастыря), преобразованного в 1923 году в Опытный питомник им. И. В. Мичурина.
Хозяйство, руководимое И. С. Горшковым, превратилось в настоящее научное учреждение – с химической, цитологической, электроаналитической лабораториями, с музеем достижений Мичурина, с метеорологической станцией, теплицами, многими складами и хранилищами.
В 1928 году на его базе была образована Государственная селекционно-генетическая станция, с 1934 года – Центральная генетическая лаборатория им. И. В. Мичурина. И. С. Горшков был ее директором в 1935-1965 годах. При его участии выведено более 400 сортов плодово-ягодных, декоративных, овоще-бахчевых и других растений.
Доктор сельскохозяйственных наук (1954). Автор 68 печатных трудов и 180 статей по вопросам агробиологии. Депутат Верховного Совета РСФСР IV созыва (1955-1959). Награжден тремя орденами Ленина, двумя орденами Трудового Красного Знамени, Золотой медалью им. И. В. Мичурина (1966), медалями СССР и ВДНХ.
Умер 21 октября 1965 года.