Врач-дерматолог-венеролог Алексей Иванович Поспелов родился 6 февраля 1846 года в г. Данкове Рязанской губернии (ныне Липецкой области) в семье врача. После окончания медицинского факультета Московского университета (1869), был зачислен ординатором клиники кожных и венерических болезней. Доктор медицины (1874). В 1879 г. повышает квалификацию у Гебры, Капоза и Зигмунда в Вене, у Фернье в Париже. В 1884 г. Алексей Иванович – приват-доцент по сифилидологии и дерматологии, в 1887 г. – экстраординарный профессор, в 1898 г. – ординарный профессор. Ученый выдвинул неврогенную теорию происхождения некоторых дерматозов, предложил ряд новых методов лечения кожных болезней и сифилиса. Он написал первый русский учебник по кожным болезням и руководство «Краткий учебник кожных болезней», выдержавшее семь изданий.
А. И. Поспелов стоял у истоков московской школы дерматологии. Он основал Венерологическое и дерматологическое общество в России (1891), бессменно руководил им в течение 25 лет. Организовал «Поспеловские курсы» для повивальных бабок (1878), которые вскоре были превращены в школу как вполне зрелое учебное заведение. По его проекту в России был реорганизован надзор за проституцией (1887). Был членом-корреспондентом Парижского, Венского, Берлинского дерматологических обществ. Организовывал и регулярно проводил врачебные конференции, на которых делился с врачами своим огромным клиническим опытом и знакомил их с методами диагностики, лечения и профилактики кожных и венерических болезней. Эти «поспеловские пятницы» пользовались заслуженной известностью среди врачей и студентов.
При помощи художника и муляжиста А. И. Поспелов организовал при Мясницкой больнице, а затем в клинике кожных и венерических болезней музей муляжей, который пользовался мировой известностью и сыграл большую роль в подготовке дерматовенерологов. В этом музее сохранились до наших дней муляжи замечательных русских мастеров: Карповича, Прохорова и Фивейского, которые представляют большую научную ценность.
Занимался благотворительной деятельностью; богатейшую библиотеку ученого его сын безвозмездно передал Румянцевскому музею (ныне Российская государственная библиотека).
Умер 20 ноября 1916 г. в Москве.