Героя Социалистического Труда Борис Александрович Неунылов родился 3 октября 1908 года в городе Данкове Липецкой области. В 1915 году его семья переехала на Дальний Восток. Здесь Борис Александрович окончил Шкотовское высшее начальное училище, затем Уссурийский сельскохозяйственный техникум. Работал агрономом в Приморском крае и в Амурской области.

В 1935 году окончил Тихоокеанский (Дальневосточный) институт социалистического сельского хозяйства. Учился в аспирантуре Тимирязевской сельскохозяйственной академии и одновременно работал старшим научным сотрудником, а затем заведующим отделом удобрений Дальневосточной рисовой опытной станции. В 1939 году защитил диссертацию и получил ученую степень кандидата сельскохозяйственных наук.

В 1940 году Б.А. Неунылова зачислили в особую докторантскую аспирантуру при Всесоюзном научно-исследовательском институте удобрений и агропочвоведения. Однако начавшаяся Великая Отечественная война помешала Борису Александровичу окончить аспирантуру. В военные годы он возглавлял политработу на пунктах всеобуча Спасского района.

В 1946 году он вернулся к научной работе и шесть лет заведовал отделом Дальневосточной рисовой опытной станции. В 1956 году успешно защитил докторскую диссертацию, до 1963 года являлся заместителем директора опытной станции по науке. В дальнейшем его избрали на должность старшего научного сотрудника биолого-почвенного института Дальневосточного филиала Сибирского отделения АН СССР, а затем назначили его заведующим агрохимической лабораторией института. С октября 1964 года - председатель Президиума Дальневосточного филиала СО АН СССР.

Будучи ведущим специалистом в области рисосеяния, Б.А. Неунылов выполнил многие актуальные теоретические и методические разработки. Он автор почти 100 научных работ. Борис Александрович первым на Дальнем Востоке внедрил метод меченых атомов в агрохимические исследования.

За особые заслуги в развитии народного хозяйства, науки и культуры Приморского края 9 марта 1966 года Б.А. Неунылову присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и молот».

В 1968 году Борис Александрович избран действительным членом (академиком) Всесоюзной академии сельскохозяйственных наук имени В. И. Ленина (ВАСХНИЛ). С 1970 года – первый заместитель председателя Президиума Дальневосточного научного центра АН СССР, член-корреспондент АН СССР. С октября 1973 года – заместитель директора по науке во Всесоюзном научно-исследовательском институте риса ВАСХНИЛ (Белозерное, Краснодарский край), одновременно заведовал селекционным центром по рису и отделом агрохимии и почвоведения.

С 1978 года вышел на пенсию. Жил в г. Владивостоке.

Умер в 1994 году.