Ученый-физиолог и общественный деятель Т.И. Вяземский родился в 1857 году в с. Путятино Раненбургского уезда Рязанской губернии (ныне Добровский район) в семье священника.

В 1878 году он окончил Рязанскую духовную семинарию, в 1883 году – медицинский факультет Московского университета. Его интересовали проблемы электрофизиологии животных и растительных тканей. С 1889 года он проходил двухгодичную стажировку в университете г. Галле (Германия).

Вернувшись в Россию, Терентий Иванович продолжил исследования в области бальнеологии и гидротерапии. В 1901 году он защитил докторскую диссертацию по теме «Электрические явления растений». В 1902 году Т.И. Вяземский – приват-доцент Московского университета по кафедре физиологии. В 1903 году на I Всероссийском съезде виноградарей и виноделов в Москве он обосновал свои предложения по борьбе с алкоголизмом в России. В 1910 году в Москве был основан «Кружок деятелей по борьбе со школьным алкоголизмом» и открыт основанный им и приват-доцентом Московского университета М.Ю. Лахтиным «Противоалкогольный музей».

Т.И. Вяземский был одним из создателей  и первым заведующим (с 1914) Карадагской научной станции в Крыму, которой он передал собственную библиотеку в 40 тысяч томов.

Умер Т.И. Вяземский 23 сентября 1914 года, похоронен на Пятницком кладбище в Москве.