Юрист, композитор М. Н. Офросимов родился 1 февраля 1840 года в с. Борки Ливенского уезда Орловской губернии (ныне Тербунского района Липецкой области) в семье отставного капитана, помещика. Он учился в Курской гимназии, окончил юридический факультет Московского университета.

С декабря 1864 года начал службу в чине коллежского секретаря, затем чиновника по особым поручениям и мирового посредника в Житомирском уезде Волынской губернии. В дальнейшем чиновничья служба привела М. Н. Офросимова в родной Ливенский уезд; с февраля 1871 года он стал товарищем прокурора Воронежского окружного суда, а с января 1873 – прокурором области Войска Донского. В 1878-1881 годах служил в Санкт-Петербурге в 3-ем Департаменте Сената.

С детства страстным увлечением М. Н. Офросимова была музыка. Он играл на фортепиано, хорошо пел, сочинял музыкальные произведения. Жизнь в столице и общение с известными музыкантами дали ему возможность совершенствовать исполнительское мастерство и развивать композиторские способности.

В январе 1881 года дворянами Щигровского уезда Курской губернии М. Н. Офросимов был избран почетным мировым судьей, в 1884-87 годах – предводителем дворянства. В это время он посвящает себя творчеству. Им написано более 40 романсов на стихи русских поэтов – А. В. Кольцова, А. А. Фета, А. К. Толстого и др. Многие из них – «Сирени», «Я не люблю тебя», «Где твое личико смуглое?», «Где вы, дни мои?», «Был старый король», «Песнь рыбака», «В минуту печали», «Я тебе ничего не скажу» – исполняются до сих пор.

В 1894 году М. Н. Офросимов стал одним из учредителей Курского музыкального кружка, активно участвовал в его работе, выступал с концертами. В эти годы он продал имение в Щигровском уезде и, видимо, жил только на жалованье, совмещая музыкальную деятельность со службой в Акцизном управлении Курской губернии.

В 1896 году уволился со службы и уехал в Варшаву, где также организовал музыкальный кружок и продолжал заниматься сочинением романсов.

Умер предположительно в 1912 году.