Художник Т. Е. Мягков родился в июне 1813 года (по другим данным 1811 года). Место его рождения точно не установлено, но можно предположить, что это была Тамбовская губерния: его раннее творчество тесно связано с Лебедянским уездом. Кроме того, его отец, Егор Петрович Мягков, в 1836 приобрел усадьбу в с. Теплом Лебедянского уезда Тамбовской губернии (ныне Лебеянского района Липецкой области), куда художник неоднократно приезжал.

В середине 1830-х годов Т. Е. Мягков поступил в Московское училище живописи, ваяния и зодчества. Учебу в Москве он совмещал с работой – расписывал храмы в Тамбовской и Рязанской губерниях и выполнял портреты местных помещиков, купцов и священнослужителей. Он работал в Лебедяни, Ельце, Данкове, Хрущеве, Братовке и других местах. В 1842 году Т. Е. Мягков получил звание неклассного (свободного) художника. В 1845 году  был награжден серебряной медалью второго достоинства за работу «Семейство за чайным столом» («Семейная сцена», «Семейный портрет» – портрет семьи Загряжских).

Тимофеем Егоровичем было выполнено большое количество картин и икон для храмов Москвы и других городов. Он – автор настенной росписи и купола Ново-Казанского собора г. Лебедяни, для которого в 1861 году церковным старостой Н. И. Игумновым на личные средства были приобретены пять живописных работ художника.

Т. Е. Мягков умер зимой 1865 года в Москве. В Государственной Третьяковской галерее хранятся две его картины – тот самый «Семейный портрет», за который художник получил серебряную медаль, и «Портрет неизвестного». В храме Николая Чудотворца в Москве помещены две картины работы Т. Е. Мягкова «Страшный суд» и «Голгофа». В фондах Архангельского музея изобразительных искусств находится его работа 1842 года «Старуха с девушкой, подающей милостыню мальчику», в Томском краеведческом музее – картина «Распятие».