Художник Ф. С. Мелихов родился 28 сентября 1881 года в с. Яремовка Харьковской губернии. Окончил Московское училище живописи (1909), учился у К. Коровина и В. Серова.

В 1910 году работал вторым помощником декоратора в Большом Академическом театре в Москве, затем театральным художником в составе временных актерских трупп.

В 1915 году Ф. С. Мелихов был призван в армию и отправлен на фронт Первой мировой войны. В середине 1916 года он был демобилизован по состоянию здоровья и приехал в Липецк, на родину своей супруги. Работал чертежником в липецких аэроплановых мастерских, инспектором по искусству в уездном отделе народного образования и одновременно (1919-1921) в созданной им совместно с И. К. Крестовским и другими живописцами художественной студии, одной из первых в послереволюционной России. Студия располагалась на улице Усманской (ныне ул. Фрунзе). 

В 1921-1926 годах Ф.С. Мелихов был секретарем липецкого уездного отдела профсоюза работников просвещения. С 1926 года он оформлял и редактировал журнал «Красный просвещенец», с января 1927 года работал директором Липецкого краеведческого музея, был секретарем уездного краеведческого общества.

Он собирал экспонаты и материалы о Плеханове, фотографировал и зарисовывал плехановские места, записывал воспоминания о нем старожилов, вел переписку с Домом Плеханова в Ленинграде, с архивами разных городов. В 1928 году организовал первый Дом-музей Г. В. Плеханова.

15 января 1932 года Ф.С. Мелихов был арестован Липецким отделом ГПУ. В числе 92 краеведов черноземных регионов он обвинялся в участии в контрреволюционной организации, ставившей задачу свержения Советской власти и установления конституционно-монархического правления («дело краеведов»). После освобождения 1 мая 1932 года он работал главным художником в Доме Красной Армии.

Умер в 1961 году. 25 мая 2001 года в г. Липецке на ул. Фрунзе (бывшая ул. Усманская) открыта мемориальная доска в честь создателя первой липецкой изостудии Ф. С. Мелихова.